数据结构与算法（开篇及时间复杂度分析）
内容纲要
什么是数据结构与算法
从广义上讲，数据结构就是指一组数据的存储结构。算法就是操作数据的一组方法。
从狭义上讲，是指某些著名的数据结构和算法，比如队列、栈、堆、二分查找、动态规划等。这些都是前人智慧的结晶，我们可以直接拿来用。我们要讲的这些经典数据结构和算法，都是前人从很多实际操作场景中抽象出来的，经过非常多的求证和检验，可以高效地帮助我们解决很多实际的开发问题。
数据结构是为算法服务的，算法要作用在特定的数据结构之上。 因此，我们无法孤立数据结构来讲算法，也无法孤立算法来讲数据结构。
复杂度分析
事后估计法
我把代码跑一遍，通过统计、监控，就能得到算法执行的时间和占用的内存大小。为什么还要做时间、空间复杂度分析呢？这种分析方法能比我实实在在跑一遍得到的数据更准确吗？首先，我可以肯定地说，你这种评估算法执行效率的方法是正确的。很多数据结构和算法书籍还给这种方法起了一个名字，叫事后统计法。但是，这种统计方法有非常大的局限性。
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测试结果非常依赖测试环境
测试环境中硬件的不同会对测试结果有很大的影响。比如，我们拿同样一段代码，分别用 Intel Core i9 处理器和 Intel Core i3 处理器来运行，不用说，i9 处理器要比 i3 处理器执行的速度快很多。还有，比如原本在这台机器上 a 代码执行的速度比 b 代码要快，等我们换到另一台机器上时，可能会有截然相反的结果。
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测试结果受数据规模的影响很大
后面我们会讲排序算法，我们先拿它举个例子。对同一个排序算法，待排序数据的有序度不一样，排序的执行时间就会有很大的差别。极端情况下，如果数据已经是有序的，那排序算法不需要做任何操作，执行时间就会非常短。除此之外，如果测试数据规模太小，测试结果可能无法真实地反映算法的性能。比如，对于小规模的数据排序，插入排序可能反倒会比快速排序要快！
大 O 复杂度表示法
int cal(int n) { int sum = 0; int i = 1; for (; i <= n; ++i) { sum = sum + i; } return sum; }
从 CPU 的角度来看，这段代码的每一行都执行着类似的操作：读数据-运算-写数据。尽管每行代码对应的 CPU 执行的个数、执行的时间都不一样，但是，我们这里只是粗略估计，所以可以假设每行代码执行的时间都一样，为 unit_time。在这个假设的基础之上，这段代码的总执行时间是多少呢？第 2、3 行代码分别需要 1 个 unit_time 的执行时间，第 4、5 行都运行了 n 遍，所以需要 2nunit_time 的执行时间，所以这段代码总的执行时间就是 (2n+2)unit_time。可以看出来，所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数成正比。
int cal(int n) { int sum = 0; int i = 1; int j = 1; for (; i <= n; ++i) { j = 1; for (; j <= n; ++j) { sum = sum + i * j; } } }
其中，T(n) 我们已经讲过了，它表示代码执行的时间；n 表示数据规模的大小；f(n) 表示每行代码执行的次数总和。因为这是一个公式，所以用 f(n) 来表示。公式中的 O，表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比。所以，第一个例子中的 T(n) = O(2n+2)，第二个例子中的 T(n) = O(2n2+2n+3)。这就是大 O 时间复杂度表示法。大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度。当 n 很大时，你可以把它想象成 10000、100000。而公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势，所以都可以忽略。我们只需要记录一个最大量级就可以了，如果用大 O 表示法表示刚讲的那两段代码的时间复杂度，就可以记为：T(n) = O(n)； T(n) = O(n2)。
时间复杂度分析
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只关注循环执行次数最多的一段代码
大 O 这种复杂度表示方法只是表示一种变化趋势。我们通常会忽略掉公式中的常量、低阶、系数，只需要记录一个最大阶的量级就可以了。所以，我们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候，也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。这段核心代码执行次数的 n 的量级，就是整段要分析代码的时间复杂度。
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加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
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乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积
1. O(1)
O(1) 只是常量级时间复杂度的一种表示方法，并不是指只执行了一行代码。比如这段代码，即便有 3 行，它的时间复杂度也是 O(1），而不是 O(3)。
int j = 6;
int sum = i + j;
只要代码的执行时间不随 n 的增大而增长，这样代码的时间复杂度我们都记作 O(1)。或者说，一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)。
2. O(logn)、O(nlogn)
while (i <= n) {
i = i * 2;
}
根据我们前面讲的复杂度分析方法，第三行代码是循环执行次数最多的。所以，我们只要能计算出这行代码被执行了多少次，就能知道整段代码的时间复杂度。从代码中可以看出，变量 i 的值从 1 开始取，每循环一次就乘以 2。当大于 n 时，循环结束。还记得我们高中学过的等比数列吗？实际上，变量 i 的取值就是一个等比数列。如果我把它一个一个列出来，就应该是这个样子的：
所以，我们只要知道 x 值是多少，就知道这行代码执行的次数了。通过 2x=n 求解 x 这个问题我们想高中应该就学过了，我就不多说了。x=log2n，所以，这段代码的时间复杂度就是 O(log2n)。
while (i <= n) {
i = i * 3;
}
实际上，不管是以 2 为底、以 3 为底，还是以 10 为底，我们可以把所有对数阶的时间复杂度都记为 O(logn)。为什么呢？我们知道，对数之间是可以互相转换的，log3n 就等于 log32 * log2n，所以 O(log3n) = O(C * log2n)，其中 C=log32 是一个常量。基于我们前面的一个理论：在采用大 O 标记复杂度的时候，可以忽略系数，即 O(Cf(n)) = O(f(n))。所以，O(log2n) 就等于 O(log3n)。因此，在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们忽略对数的“底”，统一表示为 O(logn)。如果你理解了我前面讲的 O(logn)，那 O(nlogn) 就很容易理解了。还记得我们刚讲的乘法法则吗？如果一段代码的时间复杂度是 O(logn)，我们循环执行 n 遍，时间复杂度就是 O(nlogn) 了。而且，O(nlogn) 也是一种非常常见的算法时间复杂度。比如，归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)。
3. O(m+n)、O(m*n)
int sum_1 = 0;
int i = 1;
for (; i < m; ++i) {
sum_1 = sum_1 + i;
}
int sum_2 = 0;
int j = 1;
for (; j < n; ++j) {
sum_2 = sum_2 + j;
}
return sum_1 + sum_2;
}
从代码中可以看出，m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大，所以我们在表示复杂度的时候，就不能简单地利用加法法则，省略掉其中一个。所以，上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)。针对这种情况，原来的加法法则就不正确了，我们需要将加法规则改为：T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法则继续有效：T1(m)*T2(n) = O(f(m) * f(n))。
空间复杂度分析
时间复杂度的全称是渐进时间复杂度，表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。类比一下，空间复杂度全称就是渐进空间复杂度（asymptotic space complexity），表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。
int i = 0;
int[] a = new int[n];
for (i; i <n; ++i) {
a[i] = i * i;
}
for (i = n-1; i >= 0; --i) {
print out a[i]
}
}
跟时间复杂度分析一样，我们可以看到，第 2 行代码中，我们申请了一个空间存储变量 i，但是它是常量阶的，跟数据规模 n 没有关系，所以我们可以忽略。第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组，除此之外，剩下的代码都没有占用更多的空间，所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。
最好、最坏情况时间复杂度
int find(int[] array, int n, int x) {
int i = 0;
int pos = -1;
for (; i < n; ++i) {
if (array[i] == x) pos = i;
}
return pos;
}
这段代码要实现的功能是，在一个无序的数组（array）中，查找变量 x 出现的位置。如果没有找到，就返回 -1。按照上节课讲的分析方法，这段代码的复杂度是 O(n)，其中，n 代表数组的长度。我们在数组中查找一个数据，并不需要每次都把整个数组都遍历一遍，因为有可能中途找到就可以提前结束循环了。但是，这段代码写得不够高效。我们可以这样优化一下这段查找代码。
int find(int[] array, int n, int x) {
int i = 0;
int pos = -1;
for (; i < n; ++i) {
if (array[i] == x) {
pos = i;
break;
}
}
return pos;
}
我们优化完之后，这段代码的时间复杂度还是 O(n) 吗？很显然，咱们上一节讲的分析方法，解决不了这个问题。因为，要查找的变量 x 可能出现在数组的任意位置。如果数组中第一个元素正好是要查找的变量 x，那就不需要继续遍历剩下的 n-1 个数据了，那时间复杂度就是 O(1)。但如果数组中不存在变量 x，那我们就需要把整个数组都遍历一遍，时间复杂度就成了 O(n)。所以，不同的情况下，这段代码的时间复杂度是不一样的。为了表示代码在不同情况下的不同时间复杂度，我们需要引入三个概念：最好情况时间复杂度、最坏情况时间复杂度和平均情况时间复杂度。顾名思义，最好情况时间复杂度就是，在最理想的情况下，执行这段代码的时间复杂度。就像我们刚刚讲到的，在最理想的情况下，要查找的变量 x 正好是数组的第一个元素，这个时候对应的时间复杂度就是最好情况时间复杂度。同理，最坏情况时间复杂度就是，在最糟糕的情况下，执行这段代码的时间复杂度。就像刚举的那个例子，如果数组中没有要查找的变量 x，我们需要把整个数组都遍历一遍才行，所以这种最糟糕情况下对应的时间复杂度就是最坏情况时间复杂度。
平均情况时间复杂度
我们都知道，最好情况时间复杂度和最坏情况时间复杂度对应的都是极端情况下的代码复杂度，发生的概率其实并不大。为了更好地表示平均情况下的复杂度，我们需要引入另一个概念：平均情况时间复杂度，后面我简称为平均时间复杂度。平均时间复杂度又该怎么分析呢？我还是借助刚才查找变量 x 的例子来给你解释。要查找的变量 x 在数组中的位置，有 n+1 种情况：在数组的 0～n-1 位置中和不在数组中。我们把每种情况下，查找需要遍历的元素个数累加起来，然后再除以 n+1，就可以得到需要遍历的元素个数的平均值，即：
我们知道，要查找的变量 x，要么在数组里，要么就不在数组里。这两种情况对应的概率统计起来很麻烦，为了方便你理解，我们假设在数组中与不在数组中的概率都为 1/2。另外，要查找的数据出现在 0～n-1 这 n 个位置的概率也是一样的，为 1/n。所以，根据概率乘法法则，要查找的数据出现在 0～n-1 中任意位置的概率就是 1/(2n)。因此，前面的推导过程中存在的最大问题就是，没有将各种情况发生的概率考虑进去。如果我们把每种情况发生的概率也考虑进去，那平均时间复杂度的计算过程就变成了这样：
这个值就是概率论中的加权平均值，也叫作期望值，所以平均时间复杂度的全称应该叫加权平均时间复杂度或者期望时间复杂度。
实际上，在大多数情况下，我们并不需要区分最好、最坏、平均情况时间复杂度三种情况。像我们上一节课举的那些例子那样，很多时候，我们使用一个复杂度就可以满足需求了。只有同一块代码在不同的情况下，时间复杂度有量级的差距，我们才会使用这三种复杂度表示法来区分。
均摊时间复杂度
// 代码中的array.length就等于n
int[] array = new int[n];
int count = 0;
void insert(int val) {
if (count == array.length) {
int sum = 0;
for (int i = 0; i < array.length; ++i) {
sum = sum + array[i];
}
array[0] = sum;
count = 1;
}
array[count] = val;
++count;
}